Potenciación con exponente entero y radicación

 Potenciación:

 Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

	Exponente	Se puede leer: tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta
3 . 3 . 3 . 3 = 3 4
	Base

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos:

2 5 =  2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  32    El exponente es 5, esto  significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 2 = 3 • 3 =  9                      El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 4 =  5 • 5 • 5 • 5  =  625       El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como:

a n =  a • a • a • ........

Donde: a = base     n = exponente “ n” factores iguales

Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Potencia de base entera y exponente natural

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a  Z ) (léase a pertenece a zeta ) significa que puede tomar valores positivos y negativos . Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales , significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:

Si la base a es positiva , la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

( + a) n = + a n

Ejemplos:

( + 4) 3 =   4 3 =  4 • 4 • 4  =  64  = + 64                    Exponente impar

( + 3) 4 =   3 4 =  3 • 3 • 3 • 3  =  81  = + 81                   Exponente par

Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es par , la potencia es positiva.

( _ a) n  (par) = + a n

Ejemplos:

( _ 5) 2 = _ 5 • _ 5  = + 25  =  25 _ · _ =  +

( _ 2) 8 = _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2  = + 256  =  256

b) Si el exponente es impar , la potencia es negativa.

( _ a) n (impar) = _ a n

Ejemplos:

( _ 2) 3 = _ 2 • _ 2 • _ 2  = _ 8

( _ 3) 3 = _ 3 • _ 3 • _ 3  = _ 27

En resumen:

Base	Exponente	Potencia
Positiva	Par	Positiva
Positiva	Impar	Positiva
Negativa	Par	Positiva
Negativa	Impar	Negativa

Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

 

División de potencias de igual base

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

Multiplicación de potencias de igual exponente

Se multiplican las bases y se conserva el exponente.

Ejemplo:

División de potencias de igual exponente

Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo:

Potencia elevada a potencia

Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

1) 

2) 

Potencia de base racional y exponente entero

Sea la base  (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales (   Q ),

donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n  Z).  Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

Potencia de exponente negativo

Si  es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,

Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

Propiedades de las Potencias o Leyes de los exponentes: Cuadro sinóptico

A partir de este cuadro resumen con potencias, con ejemplos en base entera y racional, que  incluye todas las propiedades, se puede resolver cualquier ejercicio de potencias.

	Propiedades		Ejemplos
Potencias de igual base	a m • a n	a m + n	2 3 · 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5
	a m : a n	a m – n
	a 0	1	23 0 = 1
	(a m ) n	a m • n	( 2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
Potencias de igual exponente	a m • b m	(a • b) m	2 4 · 3 4 = (2 · 3) 4 = 6 4
	a m : b m	(a : b) m	4 3 : 2 3 = (4 : 2) 3

Ejercicios de aplicación de exponentes.

=

=

=

=

=

=

=

Calcular: 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  Radicación Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí. Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condiciones o reglas. Suma y resta de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando (o base subradical). (Ver: Suma y resta de radicales ) (Ver: Operaciones combinadas ) Producto o multiplicación de radicales Multiplicar radicales del mismo índice Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice Multiplicar radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se multiplican. (Ver: Producto o multiplicación de radicales) Cociente o división de radicales Dividir radicales del mismo índice Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice Dividir radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se dividen.   Potencia de radicales Raíz de un radical Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical. Ejemplo:   Racionalizar Consiste en quitar los radicales del denominador , lo cual facilita el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos, para eliminar los radicales del denominador. a)  Se multiplican el numerador y el denominador por  . b)  Se multiplican el numerador y el denominador por   . c)  y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical, se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado es la misma expresión pero con signo contrario. Propiedades de las raices: Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces: 1) Multiplicación de raíces de igual índice: Se multiplican las bases y se conserva el índice. 2) División de raíces de igual índice: Se dividen las bases y se conserva el índice. 3) Raíz de raíz: Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base. 4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice: Exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical  y la base queda aislada. 5) Propiedad de amplificación: Tanto el índice como el exponente de la potencia pueden amplificarse por un mismo valor. 6) Ingreso de un factor dentro de una raíz: (con la restricción que a>0 si n es par) Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y multiplicando a los demás factores. Observación: las propiedades anteriores de dan dentro de los números reales. Racionalización de fracciones con radicales. Tratándose de radicales, el proceso de racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción. Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos: a) caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones. Ejemplo: Racionalizar:  Como regla general, amplificamos la fracción por el valor de este denominador, en este caso  , de la siguiente manera: b) Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones. Ejemplo: Racionalizar:  Igual que en el caso anterior, amplificamos la fracción, ahora por  , para formar en el denominador una suma por su diferencia (corresponde al conjugado, que es la misma expresión pero con signo contrario), con lo cual dejamos la expresión en: c) Caso en que hay una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones. Ejemplo: Racionalizar:  En este caso amplificamos la fracción por  , para dejar la expresión del siguiente modo: Racionalizar fracciones con radicales en el denominador sirve, entre otras aplicaciones, para ordenar de mayor a menor (para comparar) dichas fracciones. Adición y substracción de radicales Caso 1 Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical o radicando). Ejemplo: Se pide realizar una operación combinada de suma y resta, lo cual podremos hacer ya que todos los términos tienen  Para recordar : Cuando hay un radical solo  siempre será lo mismo que  . Como los radicales son todos iguales  se suman los números que están fuera de ellos (3 + 5 + 1) y la parte radical se deja igual. Veamos ahora otro ejemplo: Como todos los términos tienen  podemos sumar y/o restar sin problema. Se ha añadido un "1" delante del radical único  .   Caso 2 ¿Podremos sumar y restar radicales que tengan el mismo índice pero que tengan distinta base? Ejemplo: Aquí también se pide realizar una operación combinada de suma y resta. Sin embargo, no será posible porque los tres radicales poseen el mismo índice (2) y sus bases (o cantidades subradicales o radicandos) son diferentes, además de que son números primos y no se pueden factorizar . Pero, veamos otro ejemplo: Esta también es una operación combinada de sumas y restas de radicales que tienen el mismo índice (2) pero tienen distinta base. Pero aquí hay una diferencia: las bases se pueden factorizar , de tal modo que 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 27 3 9 3 3 3 1 75 3 25 5 5 5 1 Para quedar Simplificación de Radicales Para cumplir con las condiciones que las propiedades de los radicales les imponen a estos cuando participan en alguna operación, uno de los métodos es la simplificación de radicales . Veámoslo con diferentes ejemplos: Simplificar  Un radical se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario . En nuestro ejemplo, se puede expresar como  . Por tanto, se puede simplificar igual que una fracción; o sea, se divide el índice (12, que se coloca como denominador) y el exponente (9, que se coloca como numerador) por un mismo número. (9 y 12 son divisibles por 3, y quedan como 3 y 4) Ahora podemos hacer el camino inverso y una potencia con exponente fraccionario como  podemos expresarla como un radical  . También se puede simplificar directamente (cuando es posible), dividiendo el índice y el exponente por un mismo número (12 ÷ 3 = 4 y 9 ÷ 3 = 3). Otros casos y más ejemplos: Simplificar  Simplificamos directamente dividiendo, en este caso, índice y exponente entre 4. Simplificar  Expresamos el radical como una potencia con exponente fraccionario y simplificamos la fracción. Simplificar  Factorizamos la base (64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 6 ), luego dividimos el índice (9) y el exponente (6) por 3 y desarrollamos el cuadrado de la base (4). Simplificar  Factorizamos la base (81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 3 4 ), luego dividimos el índice (8) y el exponente (4) por 2, quedando como índice 2 (que no se escribe) y la base como 3l  cuyo exponente (1) tampoco se escribe. Simplificar  Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical o base. Los tres radicales tienen índice 2, lo cual haciendo 2 x 2 x 2 nos da 8. La cantidad subradical o base está elevada a 8, entonces tanto el índice (8) como el exponente (8) los dividimos por 8 y queda solo la cantidad subradical o base k. Simplificar  Multiplicamos los índices (5 x 3 = 15) de las raíces y conservamos el exponente (10) de la base (x), luego simplificamos ambos números por 5, que divide tanto a 15 como a 10. Simplificar  Expresamos el radical como una potencia con exponente fraccionario  , luego simplificamos la fracción del exponente y nos queda  , lo cual es lo mismo que  donde el exponente 2 de la base se anula con el índice 2 (que no escribe) del radical, para quedar solo x como resultado. Simplificar  Para dividir (o multiplicar) dos radicales ambos tienen que tener el mismo índice. En este ejemplo no es así, por lo tanto debemos reducir a un índice común, y lo hacemos igual como cuando reducimos fracciones a común denominador. En este caso, el número o índice común es el 15, el cual dividimos primero por el índice del numerador del radical (15 ÷ 5 = 3) y elevamos la base a ese exponente (3), y luego el 15 lo dividimos por el índice del radical que está como denominador (15 ÷ 3 = 5) y elevamos la base a ese exponente (5) para que la división quede  , con los dos radicales con el mismo índice (15) y se puede realizar la operación. Simplificar  El radical del numerador tiene índice 2 y el radical de denominador tiene índice 3. Para hacer la división debemos igualar los índices. Entre 3 y 2 el índice común es 6, lo aplicamos y operamos igual que el ejemplo anterior. Simplificar  Simplificar  Efectuar  Sumar y simplificar  Debemos recordar que para poder sumar radicales éstos tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando. Los radicales del ejemplo tienen el mismo índice pero distinto radicando. Vamos a factorizar los radicandos (o bases) para extraer de cada sumando todos los factores posibles: Ahora sumamos los coeficientes de cada raíz; o sea, los números que van delante de cada uno de ellos multiplicando: